Phép chiếu trực giao

Ví dụ, hàm ánh xạ một điểm ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} trong không gian 3 chiều R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} vào điểm ( x , y , 0 ) {\displaystyle (x,y,0)} là một phép chiếu trực giao lên mặt phẳng x–y. Hàm này được biểu diễn bởi ma trận sau

P = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ] . {\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}

Tác động của ma trận này lên một vectơ bất kỳ là

P ( x y z ) = ( x y 0 ) . {\displaystyle P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}.}

Để xem liệu P {\displaystyle P} có là một phép chiếu, tức là P = P 2 {\displaystyle P=P^{2}} , ta tính

P 2 ( x y z ) = P ( x y 0 ) = ( x y 0 ) = P ( x y z ) {\displaystyle P^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}} .

Ta còn có thể thấy rằng P T = P {\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P} (ma trận đối xứng), chứng tỏ phép chiếu này là phép chiếu trực giao.

Phép chiếu xiên

Một ví dụ đơn giản cho phép chiếu xiên (không trực giao) là

P = [ 0 0 α 1 ] . {\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}

Bằng phép nhân ma trận, ta thấy rằng

P 2 = [ 0 0 α 1 ] [ 0 0 α 1 ] = [ 0 0 α 1 ] = P . {\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.}

chứng tỏ rằng P {\displaystyle P} chắc chắn là một phép chiếu.

Phép chiếu P {\displaystyle P} là trực giao khi và chỉ khi α = 0 {\displaystyle \alpha =0} bởi vì chỉ khi đó mới có P T = P {\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P} .